身份证中的MOD 11-2校验

GB11643-1999 是我国现行公民身份证号的国家标准。我们可以很容易地找到这一文件。

身份证号即公民身份号码，由 18 位号码组成。身份证号码分为两部分，本体码和校验码。

身份证号的前十七为本体码（master number），排列顺序从左至右依次为：六位数字地址码，八位数字出生日期码，三位数字顺序码。这一部分较为简单，我不再赘述。

身份证号的第十八位为校验码（check number），可由前十七位通过规定的数学关系式运算得到。具体采用 MOD 11-2 校验码算法。

首先身份证号码的每一位都有其固定的加权因子 $Wi$，它等于 $2$ 的 $18-i$ 次方除以 $11$ 的余数，$i$ 为各个号码的位数，即：

W_i = 2^{18-i}\pmod {11}

将前十七位号码 $a_i$ 与其对应的加权因子 $W_i$ 相乘再相加，可以得到数值 $S$：

S = \sum_{i=1}^{17}W_i×a_i

求出 $S$ 除以 $11$ 的余数：

S\pmod{11}

再用 $12$ 减去这个余数：

12-S\pmod{11}

最后计算出该差除以 $11$ 的余数，就得到了最终的校验码 $a_{18}$:

a_{18} = (12-S\pmod{11})\pmod{11}

好了，我们已经知道了算法，让我们试试吧（此处以上面提到的国家标准里的附录 A 为例）：

一公民的身份证号码为 11010519491231002X

我们可以求出前十七位各自的加权因子

首先举个栗子，我们求出第 5 位的加权因子 $W_5$：

2^{18-5} = 2^{13} = 8192

$W_5$ 就应等于 8192 除以 11 的余数：

W_5 = 8192\pmod{11} = 8

同理，一通计算猛如虎，我们可以轻松得出下面这一关于 $W_i$ 与 $a_i$ 关系的表格：

$a_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
$W_i$	7	9	10	5	8	4	2	1	6	3	7	9	10	5	8	4	2

然后求出数值 $S$：

S = \sum_{i=1}^{17}W_i×a_i = 7*1+9*1+10*0+5*1+8*0+4*5+2*1+1*9+6*4+3*9+7*1+9*2+10*3+5*1+8*0+4*0+2*2 = 167

用 167 除以 11 商 15 余 2 ：

167\pmod{11} = 2

12 减去 2 的差为 10 ，10 除以 11 商 0 余 10 ：

(12-2)\pmod{11} = 10

因此校验码 $a_{18}$ 等于 10 ，又身份证号码限定为 18 位，故 10 用罗马数字 X 代替，此公民的身份证号码校验码为 X 。

注：本文参考以下资料：

第一次体验 LaTeX ，感觉不错，很容易上手。