身份證中的MOD 11-2校驗

GB11643-1999 是我國現行公民身份證號的國家標準。我們可以很容易地找到這一文件。

身份證號即公民身份號碼，由 18 位號碼組成。身份證號碼分為兩部分，本體碼和校驗碼。

身份證號的前十七為本體碼（master number），排列順序從左至右依次為：六位數字地址碼，八位數字出生日期碼，三位數字順序碼。這一部分較為簡單，我不再贅述。

身份證號的第十八位為校驗碼（check number），可由前十七位通過規定的數學關係式運算得到。具體採用 MOD 11-2 校驗碼算法。

首先身份證號碼的每一位都有其固定的加權因子 $Wi$，它等於 $2$ 的 $18-i$ 次方除以 $11$ 的餘數，$i$ 為各個號碼的位數，即：

W_i = 2^{18-i}\pmod {11}

將前十七位號碼 $a_i$ 與其對應的加權因子 $W_i$ 相乘再相加，可以得到數值 $S$：

S = \sum_{i=1}^{17}W_i×a_i

求出 $S$ 除以 $11$ 的餘數：

S\pmod{11}

再用 $12$ 減去這個餘數：

12-S\pmod{11}

最後計算出該差除以 $11$ 的餘數，就得到了最終的校驗碼 $a_{18}$:

a_{18} = (12-S\pmod{11})\pmod{11}

好了，我們已經知道了算法，讓我們試試吧（此處以上面提到的國家標準裡的附錄 A 為例）：

一公民的身份證號碼為 11010519491231002X

我們可以求出前十七位各自的加權因子

首先舉個栗子，我們求出第 5 位的加權因子 $W_5$：

2^{18-5} = 2^{13} = 8192

$W_5$ 就應等於 8192 除以 11 的餘數：

W_5 = 8192\pmod{11} = 8

同理，一通計算猛如虎，我們可以輕鬆得出下面這一關於 $W_i$ 與 $a_i$ 關係的表格：

$a_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
$W_i$	7	9	10	5	8	4	2	1	6	3	7	9	10	5	8	4	2

然後求出數值 $S$：

S = \sum_{i=1}^{17}W_i×a_i = 7*1+9*1+10*0+5*1+8*0+4*5+2*1+1*9+6*4+3*9+7*1+9*2+10*3+5*1+8*0+4*0+2*2 = 167

用 167 除以 11 商 15 餘 2 ：

167\pmod{11} = 2

12 減去 2 的差為 10 ，10 除以 11 商 0 餘 10 ：

(12-2)\pmod{11} = 10

因此校驗碼 $a_{18}$ 等於 10 ，又身份證號碼限定為 18 位，故 10 用羅馬數字 X 代替，此公民的身份證號碼校驗碼為 X 。

注：本文參考以下資料：

第一次體驗 LaTeX ，感覺不錯，很容易上手。