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洛希極限公式の導出#

衛星とその周りの惑星が両方とも球体であり、引力以外の力が存在しないと仮定します。
$u$ は衛星の表面で惑星に最も近い質量の部分（つまり、球心と衛星球面が交差する部分）です。この質量 $u$ には 2 つの力が働きます。

衛星からの引力と惑星からの引力（衛星は惑星の引力場内で自由に降下するため、潮汐力と惑星の引力は同じ意味を持ちます）。

$F_G$ を衛星が $u$ に及ぼす引力とし、ニュートンの万有引力の法則により、
$F_G={{Gmu} \over r^2}$
$d$ を惑星と衛星の球心間の距離、$R$ を惑星の半径、$F_T$ を惑星が $u$ に及ぼす潮汐力とすると、
$F_T={{2GMur} \over d^3}$
衛星が洛希極限にある場合、
$F_G=F_T$
すなわち、
${Gmu \over r^2}={2GMur \over d^3}$
これから、
$d=r(2M/m)^{1 \over 3}$
ここまで公式の導出が完了したと言えますが、さらに密度という変数を使用して質量を置き換えることができます。

中学校の知識を使って、球体の質量を簡単に表すことができます：

• 惑星の質量
  $M={4π\rho_MR^3}/3$
• 衛星の質量
  $m={4π\rho_mr^3}/3$
  上記の 2 つの式を先ほど導出した公式に代入すると、
  $d=r\left({2\rho_MR^3} \over {\rho_mr^3}\right)^{1/3}$
  整理化简すると、
  $d=R\left(2{\rho_M \over \rho_m}\right)^{1/3}$
  上記の式が最終的な公式です。

洛希極限の計算方法#

$d$ を洛希極限とします。
先ほどの公式に基づいて、理想条件下では洛希極限はおおよそ
$d\approx1.260R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$
となります。（ここでの理想条件とは、衛星が完全な剛体であり、球体であり、その物質が重力（万有引力）によって完全に一緒になっていることを指します。また、周囲の惑星も球体であり、潮汐変形や自転などの他の要素を無視しています。）

流体である衛星の場合、潮汐力によって引き伸ばされます（物体が麺状になる）。したがって、同じ条件下では、洛希極限は先ほど計算した結果よりも大きくなります。おおよそ
$d\approx2.423R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$
粘度、化学結合、摩擦力などの多くの要素の影響を受けるため、ほとんどの衛星は完全な剛体または流体ではありません。そのため、洛希半径は両者の間にあります。

その他の場合#

先ほどの公式を観察すると、$\rho_m$ が $\rho_M$ の 2 倍の場合、洛希半径 $d=R$ であり、つまり惑星の表面上にあります。

$\rho_m$ が $\rho_M$ の 2 倍以上の場合、洛希半径は惑星の内部にあることがわかります。したがって、この衛星は惑星の引力によって破裂することはありません。

• この記事は以下の文献や資料を参考にしています：

Wikipedia-洛希極限
中国知網 -《洛希極限：天体是否被撕碎的關鍵詞》