barkure

洛希极限公式的导出#

假设卫星和其环绕的行星均为球体，且除了两者的引力外无其他力。
$u$ 为卫星表面最接近行星的细质量（即两球心连线与卫星球面相交处）。对于该细质量 $u$ 有两股作用力，即：

卫星对它的引力及行星对它的引力（因为卫星在行星的引力场内自由降落，潮汐力与行星引力意义相同）。

设 $F_G$ 为卫星作用在 $u$ 上的引力，根据牛顿老爷子的万有引力定律，
$F_G={{Gmu} \over r^2}$
设 $d$ 为行星、卫星两球心的距离，$R$ 为行星半径 $F_T$ 为行星作用于 $u$ 的潮汐力，
$F_T={{2GMur} \over d^3}$
当卫星处于洛希极限时，有
$F_G=F_T$
即
${Gmu \over r^2}={2GMur \over d^3}$
由此易得
$d=r(2M/m)^{1 \over 3}$
到这里可以说已经完成了公式的推导，但我们可以进一步的采用密度这一变量来替换质量。

简单地利用一下初中的知识，我们可以轻易的将球体的质量表示出来：

• 行星的质量
  $M={4π\rho_MR^3}/3$
• 卫星的质量
  $m={4π\rho_mr^3}/3$
  将上述两个等式代入我们刚刚推导出的公式，得到
  $d=r\left({2\rho_MR^3} \over {\rho_mr^3}\right)^{1/3}$
  整理化简后
  $d=R\left(2{\rho_M \over \rho_m}\right)^{1/3}$
  上式即为最终公式。

洛希极限的计算方法#

假设 $d$ 为洛希极限。
根据刚刚得到的公式我们可知理想条件下洛希极限约为
$d\approx1.260R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$
(此处的理想条件指该卫星完全刚体、圆球形，其物质完全因重力（万有引力）合在一起的，且它所环绕的行星亦为圆球形，并忽略其他因素如潮汐变形及自转）

对于是流体的卫星，潮汐力会拉长它（物体的面条化），故在同条件下，它的洛希极限大于刚刚计算的结果，约为
$d\approx2.423R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$
因多种因素影响（如粘度、化学键、摩擦力等）大多数卫星都不完全是刚体或流体，故其洛希半径在两者之间。

其他情况#

观察刚刚得到的公式，当 $\rho_m$ 是 $\rho_M$ 的二倍时，洛希半径 $d=R$，即在行星表面。

当 $\rho_m$ 是 $\rho_M$ 的二倍以上时，我们可以知道洛希半径在行星的内部，那么此卫星永远不会因所环绕的行星的引力而破裂。

• 本文参考以下文献或资料：

维基百科 -洛希极限
中国知网 -《洛希极限：天体是否被撕碎的关键词》