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洛希極限公式的導出#

假設衛星和其環繞的行星均為球體，且除了兩者的引力外無其他力。
$u$ 為衛星表面最接近行星的細質量（即兩球心連線與衛星球面相交處）。對於該細質量 $u$ 有兩股作用力，即：

衛星對它的引力及行星對它的引力（因為衛星在行星的引力場內自由降落，潮汐力與行星引力意義相同）。

設 $F_G$ 為衛星作用在 $u$ 上的引力，根據牛頓老爺子的萬有引力定律，
$F_G={{Gmu} \over r^2}$
設 $d$ 為行星、衛星兩球心的距離，$R$ 為行星半徑 $F_T$ 為行星作用於 $u$ 的潮汐力，
$F_T={{2GMur} \over d^3}$
當衛星處於洛希極限時，有
$F_G=F_T$
即
${Gmu \over r^2}={2GMur \over d^3}$
由此易得
$d=r(2M/m)^{1 \over 3}$
到這裡可以說已經完成了公式的推導，但我們可以進一步的採用密度這一變量來替換質量。

簡單地利用一下初中的知識，我們可以輕易的將球體的質量表示出來：

• 行星的質量
  $M={4π\rho_MR^3}/3$
• 衛星的質量
  $m={4π\rho_mr^3}/3$
  將上述兩個等式代入我們剛剛推導出的公式，得到
  $d=r\left({2\rho_MR^3} \over {\rho_mr^3}\right)^{1/3}$
  整理化簡後
  $d=R\left(2{\rho_M \over \rho_m}\right)^{1/3}$
  上式即為最終公式。

洛希極限的計算方法#

假設 $d$ 為洛希極限。
根據剛剛得到的公式我們可知理想條件下洛希極限約為
$d\approx1.260R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$
(此處的理想條件指該衛星完全剛體、圓球形，其物質完全因重力（萬有引力）合在一起的，且它所環繞的行星亦為圓球形，並忽略其他因素如潮汐變形及自轉）

對於是流體的衛星，潮汐力會拉長它（物體的面條化），故在同條件下，它的洛希極限大於剛剛計算的結果，約為
$d\approx2.423R\left(\rho_M \over \rho_m\right)^{1/3}$
因多種因素影響（如粘度、化學鍵、摩擦力等）大多數衛星都不完全是剛體或流體，故其洛希半徑在兩者之間。

其他情況#

觀察剛剛得到的公式，當 $\rho_m$ 是 $\rho_M$ 的二倍時，洛希半徑 $d=R$，即在行星表面。

當 $\rho_m$ 是 $\rho_M$ 的二倍以上時，我們可以知道洛希半徑在行星的內部，那麼此衛星永遠不會因所環繞的行星的引力而破裂。

• 本文參考以下文獻或資料：

維基百科 -洛希極限
中國知網 -《洛希極限：天體是否被撕裂的關鍵詞》