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割円法#

割円法には 2 つの方法があります。1 つは面積の近似、もう 1 つは円周の近似です。

劉徽は、円の面積と内外の多角形の面積がより近く、かつその間にある方法を使用して、より正確な円周率の値を求めました。

もちろん、円周率を求めるために円周を近似するために多くの人々が挑戦しています。原理はおおよそ以下の図のようになります：

アルキメデスは、96 角形の計算によって π の値を 3.1408 と 3.1429 の間に求めました。これは実生活では十分な精度です。円周率の正確な値は、多くの場合、筋肉の見せ所です。

その後の 2000 年以上の間、人々はこの方法で円を細分化し続けました。16 世紀末までに、フランスのフランソワ・ヴィエットはアルキメデスの 96 角形を 12 倍に細分化し、393216 角形の周長を計算しました。

この記録は 17 世紀にオランダの数学者ルドルフ・ファン・ケーレンによって破られました。彼は 25 年かけて 2^62 の周長を計算しました。

簡単に言えば：

$2 ^{62}＝4,611,686,018,427,387,907$

そうです、正確には 4,611,686,018,427,387,907 角形です。彼はこのことを非常に誇りに思い、この数値は彼の墓碑に刻まれました。今日でも、ドイツ人はこの数値を「ルドルフ数」と呼ぶことがよくあります。

20 年後、クリストフ・グレンベルクによってこの記録は破られ、小数点以下 38 桁まで求められました。

現時点では、単なる列挙と説明に過ぎませんが、次にはタイトルにある少年が登場します - サー・アイザック・ニュートン。

自宅隔離#

1666 年、ニュートンは 23 歳で、ペストの流行のために自宅隔離されました（似たような場面ですね）。ニュートンはいくつかの単純な式に興味を持ちました。例えば：

$(1+x) ^2＝1＋2x＋x ^2$
$(1+x) ^3＝1＋3x＋3x ^2＋x ^3$
$(1+x) ^4＝1＋4x＋6x ^2＋4x ^3＋x ^4$
$...$
その後、彼はショートカットを見つけました。複雑な計算をせずに答えを直接得ることができる方法です。

もし $x$ の係数だけを見ると、それらはパスカルの三角形（またはヤン・ヒュイの三角形とも呼ばれる）の数字です。この三角形は非常に簡単に計算できます。現在の行がわかっている場合、隣り合う 2 つの数字を足すだけで次の行の対応する数字が得られます。

最終的に、一般的な公式が得られ、任意の行の数字を計算することができます。前の行の数字に基づいて計算する必要はありません。
$(1+x)^{n}=1+n x+\frac{n(n-1) x^{2}}{2 !}+\frac{n(n-1)(n-2) x^{3}}{3 !}＋...$
これが二項定理です。

標準的な二項定理では、$n \in \mathbb {Z} ^＋$ です。これは、この公式が $(1＋x)$ の任意のべき乗の展開式を計算するためのものであることを理解するのは簡単です。しかし、ニュートンは定義域を気にせずに公式を適用しました。彼は指数を $-1$ に変えて、つまり $\frac {1}{1＋x}$ を展開しました。すると次のような無限級数が得られました：
$\frac{1}{(1+x)}=1-1 x+1 x^{2}-1 x^{3}+1 x^{4}-1 x^{5}+1 x^{6}-1 x^{7}+1 x^{8}-1 x^{9}+...$
非常に不思議ですが、得られたのは $\frac {1}{1＋x}$ の無限級数展開です。この式が正しいかどうかについて、ニュートンは次の証明を提供しました：
$\frac{1}{1＋x}(1＋x)＝(1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}+x^{8}-x^{9}+...)(1＋x)＝1$

したがって、彼は二項定理が指数が負数の場合にも拡張できると確信しました。次に、指数を分数に変えてみることにしました。例えば、$(1＋x) ^{\frac {1}{2}}$、つまり $(1＋x)$ の平方根を求めることです。
$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16} x^{3}-\frac{5}{128} x^{4}+...$
これもまた無限級数ですが、これを使って $\sqrt3$ を計算することができます。
$\sqrt3＝\sqrt{4-1}＝\sqrt{4(1-\frac{1}{4})}＝2\sqrt{(1-\frac{1}{4})}$
$x＝\frac {1}{4}$ を $(1＋x) ^{\frac {1}{2}}$ に代入すると、収束が速い展開式が得られます。数項計算するだけで高精度の $\sqrt3$ が得られます。

本題に入る#

ニュートンは $n＝\frac {1}{2}$ の場合に非常に興味を持ちました。なぜなら、単位円の方程式は $x ^2＋y ^2＝1$ だからです。

したがって、上半円の方程式は $y＝(1-x ^2) ^{\frac {1}{2}}$ です。

これは彼がさきほど研究した二項展開と関連しています。$x$ を $x ^2$ に置き換えるだけで、円に関する式が得られます：
$\sqrt{1-x ^2}=1-\frac{1}{2} x ^2-\frac{1}{8} x^{4}-\frac{1}{16} x^{6}-\frac{5}{128} x^{8}-...$
この式を使って円周率を求める方法はどうでしょうか。幸運なことに、ニュートンは微積分を発明しました。

曲線 $[0,1]$ の範囲を積分すると、$\frac {1}{4}$ の円の面積が得られます。ここではちょうど単位円です、つまり $\frac {π}{4}$ です。

簡単に言えば：
$\pi=4\left[x-\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{8} \frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{16} \frac{x^{7}}{7}-\frac{5}{128} \frac{x^{8}}{8}-. . .\right]_{0}^{1}$
$x＝2$ を代入すると円周率が得られ、任意の桁数まで精度を高めることができます。

その後、ニュートンはさらに調整し、$[0,\frac {1}{2}]$ を積分しました：

各 $x$ を半分にすると、級数の収束速度は $x ^2$ 倍になります。

この時点で、積分の面積は扇形とその下の直角三角形です。

したがって：
$\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{8} \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}-\frac{1}{16} \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\frac{5}{128}\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}-\ldots\right]$
両辺を整理すると：
${\pi}=12\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{8} \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}-\frac{1}{16} \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\frac{5}{128}\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}-\ldots-\frac{\sqrt{3}}{8}\right]$
最初の 5 桁だけを取ると、$\pi＝3.14161$ であり、誤差は 2 万分の 1 です。ルドルフの精度に達するには、上記の級数の最初の 50 項を計算するだけで数十年かかる計算が数日で完了します。

ここまでくると、少し打ちのめされた感じがしますが、ニュートン時代から数百年が経過し、もちろんより先進的なアルゴリズムが登場しています。

• この記事は以下の文献や資料を参考にしています：

Wikipedia-割円术 (劉徽)
Wikipedia-ルドルフ・ファン・ケーレン
YouTube-Veritasium-The Discovery That Transformed Pi