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割圓法#

割圓法分兩種，一是面積逼近，二是周長逼近。

劉徽使用圓面積與內外兩多邊形面積愈加接近且介於二者之間的方法來得出較為精確的圓周率取值。

當然國內外也有大量挑戰圓周率的選手通過周長逼近來求圓周率的，原理大致如下圖：

阿基米德通過計算九十六變形得出了 $π$ 在 $3.1408$ 和 $3.1429$ 之間，這在實際生活中已經完全夠用了，圓周率的精確在更多的情況下是一種秀肌肉的行為。

此後的兩千多年裡，人們用這種方法不斷把圓細分，到 16 世紀晚期，法國的弗朗索瓦・韋達把阿基米德的 96 邊又細分了 12 倍，計算了正 393216 邊形的周長。

這一記錄直至 17 世紀被荷蘭數學家魯道夫・范・科伊倫打破，他花費了 25 年計算了正 $2 ^{62}$ 的周長。

易得：

$2 ^{62}＝4,611,686,018,427,387,907$

是的沒錯就是正 4,611,686,018,427,387,907 邊形。他因此將 $π$ 精確到了小數點後 35 位：
$3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...$
他對自己的這個成就感到非常自豪，以致這個數被刻在他的墓碑上；直到今天，德國人還常常稱這個數為 “魯道夫數”。

20 年後記錄被克里斯多夫・格林伯格打破，記錄被推進到了 38 位。

到目前為止，還都是平淡的列舉與敘述，接下來該標題中的那個男孩兒出場了 —— 艾薩克・牛頓爵士。

在家隔離#

1666 年，牛頓 23 歲，他因為黑死病的爆發在家隔離（相似的一幕），牛頓對一些簡單式產生了興趣，比如：

$(1+x) ^2＝1＋2x＋x ^2$
$(1+x) ^3＝1＋3x＋3x ^2＋x ^3$
$(1+x) ^4＝1＋4x＋6x ^2＋4x ^3＋x ^4$
$...$
之後他發現了一個捷徑，無需複雜計算就能直接得到答案.

如果只看 $x$ 的係數的話，它們就是帕斯卡三角形裡的數字（也稱楊輝三角），而這個三角形很好算，如果目前已知某一行，只要把相鄰的兩個數字相加，就得到了下一行的對應數.

最終人們得到了通用公式，這樣就可以算出任意一行的數字，而不需要根據上一行的數字得出.
$(1+x)^{n}=1+n x+\frac{n(n-1) x^{2}}{2 !}+\frac{n(n-1)(n-2) x^{3}}{3 !}＋...$
這就是二項式定理.

標準的二項式定理中 $n \in \mathbb {Z} ^＋$，很容易理解，這個公式就是算出 $(1＋x)$ 的若干次冪的展開式.
但牛頓想別管定義域，直接套公式，他試著將指數變成 $-1$，即 $\frac {1}{1＋x}$，展開得到：
$\frac{1}{(1+x)}=1-1 x+1 x^{2}-1 x^{3}+1 x^{4}-1 x^{5}+1 x^{6}-1 x^{7}+1 x^{8}-1 x^{9}+...$
很奇妙啊，得到的竟然是 $\frac {1}{1＋x}$ 的無窮級數展開.
關於這個式子對不對，牛頓給了如下證明：
$\frac{1}{1＋x}(1＋x)＝(1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}+x^{8}-x^{9}+...)(1＋x)＝1$

故他堅信二項式定理可以擴展到指數為負數的情況，接下來他試著將指數變成分數，比如 $(1＋x) ^{\frac {1}{2}}$，也就是說你在給 $(1＋x)$ 開平方根.
$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16} x^{3}-\frac{5}{128} x^{4}+...$
又是一個無窮級數，我們可以借它來算 $\sqrt3$，
$\sqrt3＝\sqrt{4-1}＝\sqrt{4(1-\frac{1}{4})}＝2\sqrt{(1-\frac{1}{4})}$
將 $x＝\frac {1}{4}$ 代入 $(1＋x) ^{\frac {1}{2}}$，可以得到一個快速收斂的展開式，僅僅計算前幾項就可以得到高精度的 $\sqrt3$.

進入正題#

牛頓對 $n＝\frac {1}{2}$ 的情況十分感興趣，因為單位圓的方程是 $x ^2＋y ^2＝1$.

進而可得到上半圓的方程是 $y＝(1-x ^2) ^{\frac {1}{2}}$.

這與他剛剛研究的二項展開有關，只要把 $x$ 換成 $x ^2$，現在他得到了有關於圓的公式：
$\sqrt{1-x ^2}=1-\frac{1}{2} x ^2-\frac{1}{8} x^{4}-\frac{1}{16} x^{6}-\frac{5}{128} x^{8}-...$
該怎麼用這個求圓周率呢，幸運的是牛頓發明了微積分.

如果將曲線 $[0,1]$ 這一段來積分就可以得到 $\frac {1}{4}$ 圓面積，這裡恰好是單位圓，即 $\frac {π}{4}$.

容易得到：
$\pi=4\left[x-\frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{8} \frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{16} \frac{x^{7}}{7}-\frac{5}{128} \frac{x^{8}}{8}-. . .\right]_{0}^{1}$
代入 $x＝2$ 即得圓周率，可精確到任意位數.

隨後牛頓進一步調整，對 $[0,\frac {1}{2}]$ 積分:

每個 $x$ 都縮小一半，級數收斂速度就會乘上 $x ^2$ 的若干倍.

此時積分面積是一個扇形及其下方的直角三角形.

那麼：
$\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{8} \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}-\frac{1}{16} \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\frac{5}{128}\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}-\ldots\right]$
移項整理，得：
${\pi}=12\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\frac{1}{8} \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}-\frac{1}{16} \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}-\frac{5}{128}\frac{1}{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}-\ldots-\frac{\sqrt{3}}{8}\right]$
僅取前前五位，$\pi＝3.14161$，誤差僅為十萬分之二，要達到魯道夫的精度僅需計算上述級數的前五十項，數十年的計算量幾天就可完成.

到這裡好像有點降維打擊的意思了，但現在距離牛頓時代也有數百年了，當然有更多先進算法湧現出來了.

• 本文參考以下文獻或資料：

維基百科 -割圓術 (劉徽)
維基百科 -Ludolph van Ceulen
YouTube-Veritasium-The Discovery That Transformed Pi